函数(shù)f(x)与它的反函数f-1(x)图象(xiàng)关于直线(xiàn)y=x对称；

　　函数(shù)及其反函数(shù)的图形(xíng)关于直线y=x对(duì)称(chēng)；

　　函数存在反函数(shù)的充要(yào)条件是(shì)，函(hán)数的定(dìng)义(yì)域与值(zhí)域是一一映射等。

　　反函(hán)数性质：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图(tú)象(xiàng)关于直线y=x对称；

　　函数及其(qí)反函数(shù)的(de)图形关于直线y=x对称；

　　函数存在反函数的充要条(tiáo)件(jiàn)是，函数的(de)定(dìng)义域与值域是一一映(yìng)射的。

　　1、反函数(shù)的定义域是原函(hán)数的(de)值域，反函数的(de)值域(yù)是(shì)原函数的(de)定义域。

　　2、互为反函数(shù)的两个函数的(de)图像(xiàng)关于(yú)直线(xiàn)y=x对称(chēng)。

　　3、原函数(shù)若是奇函数，则其反函数(shù)为(wèi)奇函数。

　　4、若函数(shù)是单调函数，则一定有反函数，且(qiě)反函数的单调(diào)性与原函数的(de)一(yī)致。

　　5、原(yuán)函数(shù)与反函数的图像若有交点，则交点一定在(zài)直线y=x上或关于直线y=x对称(chēng)出(chū)现。

反函数有哪些性(xìng)质

　　性质(zhì)：

　　（1）函(hán)数f(x)与(yǔ)它的(de)反函数f-1(x)图象关(guān)于直线y=x对称；

　　（2）函数存在反函数的充要条(tiáo)件是，函数(shù)的定义域与值域是一一(yī)映(yìng)射(shè)；

　　（3）一个函数与它的反(fǎn)函数在相应区间上(shàng)单调性一致；

　　（4）大部分偶函数(shù)不(bù)存在(zài)反(fǎn)函数（当函数y=f(x)， 定义域(yù)是{0} 且(qiě) f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是(shì)偶函数且有反函数，其(qí)反函数的定义域是{C}，值域(yù)为{0} ）。

　　奇(qí)函数不一定存在反函(hán)数(shù)，被与y轴垂直(zhí)的直线截时能过2个及(jí)以上点即没有反函数。

　　腔(qiāng)神若一个奇函数(shù)存在反函(hán)数(shù)，则它(tā)的反函数也是奇森圆穗(suì)函数。

　　（5）一段连续的函数的单调性(xìng)在对应区间内(nèi)具(jù)有(yǒu)一(yī)致(zhì)性；

　　（6）严增(zēng)（减）的函(hán)数(shù)一定有(yǒu)严格增（减）的反(fǎn)函数(shù)；

　　（7）反(fǎn)函数(shù)是相互的且(qiě)具有唯一性；

　　（8）定义域、值域(yù)相反对(duì)应法则互逆（三反(fǎn)）；

　　（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在(zài)开区间I上严格单调(diào)，可导，且f(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导(dǎo)，且：

　　（10）y=x的反函数是它本身。

　　扩(kuò)此(cǐ)卜展资(zī)料：

　　反函数定(dìng)义：

　　设(shè)函(hán)数(shù)y=f(x)的定义域是(shì)D，值域是f(D)。

　　如果对于值域f(D)中的每一(yī)个(gè)y，在D中有且(qiě)只(zhǐ)有一个x使得f(x)=y，则按此对应(yīng)法则(zé)得到(dào)了一个定(dìng)义在f(D)上的函数。

　　并把该函数称为函数y=f(x)的(de)反函数，记为由该(gāi)定义可以很(hěn)快(kuài)得出函数f的定义域D和(hé)值域f(D)恰好(hǎo)就是反函(hán)数f-1的值域和定义域，并且f-1的(de)反函数就(jiù)是f，也就是说，函数f和(hé)f-1互(hù)为反函数，即(jí)：

　　反(fǎn)函数(shù)与(yǔ)原函数的(de)复(fù)合(hé)函(hán)数等于x，即：

　　习惯上我们用x来表示(shì)自(zì)变量，用(yòng)y来(lái)表示因(yīn)变量，于(yú)是函数y=f(x)的反函数通常写成

　　 。

　　例如，函数  

　　的反函(hán)数(shù)是  。

　　相对于反函数y=f-1(x)来说，原来(lái)的函数y=f(x)称为直接函数。

　　反函数(shù)和直接函数(shù)的(de)图(tú)像关于直线(xiàn)y=x对称(chēng)。

　　这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任(rèn)意一点，即b=f(a)。

　　根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在(zài)反函(hán)数y=f-1(x)的(de)图像上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于直(zhí)线y=x对称，由(a,b)的(de)任意性可(kě)知f和f-1关于y=x对(duì)称。

　　于(yú)是我们可以知道，如果两个函(hán)数的图(tú)像关于y=x对称，那么这两个(gè)函(hán)数(shù)互为(wèi)反函数(shù)。

　　这也可以看做是反函数的一个几何定义(yì)。

　　在(zài)微积分里(lǐ)，f (n)(x)是用来(lái)指f的(de)n次微分的。

　　若一函数有反函数，此函数便称(chēng)为(wèi)可逆的（invertible）。

　　参考资料：百度百科---反函数

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